Absolwent dwóch wydziałów – dyrygentury chóralnej oraz operowo-symfonicznej – Konserwatorium Petersburskiego im. Rimskiego-Korsakowa, z najwyższą oceną summa cum laude. Swoją pracę dyrygencką rozpoczął w Rosji (Uljanowsk i Jekaterynburg). Po kilku latach spędzonych na stanowisku dyrektora artystycznego Filharmonii Poznańskiej (w mieście, w którym spędził dzieciństwo) objął funkcję pierwszego dyrygenta i dyrektora artystycznego Jenaer Philharmonie. Kierował tą instytucją w latach 1998–2003, a obecnie posiada tytuł Honorowego Dyrygenta zespołu.


Stanowisko dyrektora muzycznego zajmował później kolejno w orkiestrach: Winnipeg Symphony Orchestra (2001–06), Symphoniker Hamburg (2004–08), Berner Symphonieorchester (2004–10), Düsseldorfer Symphoniker (2009–14). Jednocześnie pełnił obowiązki pierwszego gościnnego dyrygenta w Vancouver Symphony Orchestra (2000–03), Radio-Sinfonieorchester Stuttgart des SWR (obecnie SWR Symphonieorchester) oraz w Orquesta Sinfónica de Euskadi w San Sebastián (2009–17). Od września 2012 do czerwca 2017 był dyrektorem muzycznym Orchestre National de Belgique. We wrześniu 2014 objął stanowisko dyrektora muzycznego Naples Philharmonic na Florydzie. Jest także dyrektorem odbywającego się w BOZAR w Brukseli festiwalu, którego każda kolejna edycja jest poświęcona innemu kompozytorowi. 

Andrzej Boreyko jest regularnie zapraszany do współpracy z wieloma wybitnymi orkiestrami. W Ameryce Północnej poprowadził New York Philharmonic, Los Angeles Philharmonic, a także orkiestry symfoniczne w Cleveland, Filadel i, Montrealu, Detroit, Chicago, Bostonie, San Francisco, Baltimore, Pittsburghu, Toronto. Występował na festiwalach Ravinia i Aspen z Chicago Symphony Orchestra. Współpracował również z National Arts Centre w Ottawie, a także z San Francisco Symphony, Indianapolis Symphony Orchestra oraz z orkiestrami w Cincinnati i Houston, gdzie występuje regularnie jako dyrygent gościnny. 

W Europie występował z uznanymi zespołami, takimi jak: Berliner Philharmoniker, Deutsches Symphonie-Orchester, Münchner Philharmoniker, Staatskapelle Dresden, lipską Gewandhausorchester, Wiener Symphoniker, Filarmonica della Scala, Royal Concertgebouw Orchestra w Amsterdamie, Orchestre de Paris, Tonhalle-Orchester Zürich, London Symphony Orchestra, Philharmonia Orchestra, Rundfunk-Sinfonieorchester Berlin, Konzerthausorchester Berlin, Royal Stockholm Philharmonic Orchestra, Göteborg Symphony Orchestra, Bamberger Symphoniker, Orchestra del Maggio Musicale Fiorentino, Orchestre Philharmonique de Radio France oraz Nederlands Philharmonisch Orkest. W krajach Azji dyrygował takimi orkiestrami, jak NHK Symphony Orchestra w Tokio, Seoul Philharmonic Orchestra oraz Hong Kong Philharmonic Orchestra. W Australii poprowadził Sydney Symphony Orchestra, Melbourne Symphony oraz orkiestry w Adelaide, Hobart, Brisbane i Perth. 

Z dużym uznaniem spotkało się pierwsze amerykańskie wykonanie IV Symfonii Henryka Mikołaja Góreckiego z udziałem Los Angeles Philharmonic pod batutą Andrzeja Boreyki. Poprowadził on również światowe prawykonanie tego dzieła z London Philharmonic Orchestra (kwiecień 2014) i pierwsze nagranie tej kompozycji (Nonesuch Records). Wykonał także z orkiestrą z Cincinnati odnaleziony niedawno utwór Igora Strawińskiego Funeral Song, dyrygował premierą II Symfonii napisanej przez Victorię Borisovą-Ollas, a także Requiem for Larissa Valentina Silvestrova.


Artysta ma bogatą dyskografię, zawierającą cenne nagrania wykonane z ówczesną Radio-Sinfonieorchester Stuttgart des SWR, której był pierwszym dyrygentem gościnnym (ECM Records i Hänssler Classic). 

Z Los Angeles Philharmonic zarejestrował Łańcuch II Witolda Lutosławskiego (Yarlung Records), a z Orchestre National de Belgique realizuje monumentalny projekt nagraniowy obejmujący komplet symfonii Szostakowicza.