grę na fortepianie rozpoczął jako sześciolatek i przez trzynaście lat zgłębiał jej tajniki w klasie Ludmiły Kasjanienko. Jest absolwentem nowojorskiej Manhattan School of Music w klasie Solomona Mikowsky’ego (2011), w latach 2007–11 wyróżniony stypendium im. Harolda i Helen Schonbergów (pamięci wybitnego krytyka muzycznego „New York Timesa”). 

Absolwent Akademii Muzycznej im. Feliksa Nowowiejskiego w Bydgoszczy, w klasie Jerzego Sulikowskiego i Katarzyny Popowej-Zydroń. Obecnie, ze stopniem naukowym doktora, jest wykładowcą na tej uczelni. 

Adam Kośmieja to jeden z najbardziej wyrazistych polskich pianistów młodego pokolenia. Jest artystą nieustannie poszukującym, którego repertuar i doświadczenia koncertowe obejmują utwory zarówno klasyczne, jak i awangardowe oraz multimedialne. 

Prowadzi ożywioną działalność koncertową w kraju i za granicą, która zaprowadziła go do sal koncertowych Ameryki Północnej, Europy i Azji, m.in.: Weill Recital Hall w Carnegie Hall i Yamaha Concert Artists Hall w Nowym Jorku.

W Polsce współpracował niemal ze wszystkimi czołowymi krajowymi orkiestrami. Występował pod batutą m.in. Jacka Kaspszyka, Eiji Oue, Muhai Tanga, Alexandra Liebreicha, José Marii Florência, Wojciecha Michniewskiego, Szymona Bywalca, Jakuba Chrenowicza. 

Brał udział w wielu międzynarodowych festiwalach muzycznych, takich jak: Warszawska Jesień, Beijing Modern Music Festival, Shenzhen International Music Festival Belt & Road w Chinach, Międzynarodowym Sympozjum Muzyki Elektroakustycznej w Toronto, Musica Electronica Nova we Wrocławiu, Międzynarodowym Festiwalu Craiova Muzicală w Rumunii, International Piano Festivals w Hiszpanii. 

W 2016 Adam Kośmieja wydał debiutancką płytę z kompletem dzieł na fortepian solo Kazimierza Serockiego (DUX); w 2017 wystąpił na płycie Contemporary Jewish Music Stefana Węgłowskiego (KAIROS). W 2019 w ramach projektu „100 na 100. Muzyczne dekady wolności” nagrał dla PWM koncert fortepianowy Elżbiety Sikory (z orkiestrą Sinfonia Varsovia pod dyrekcją Bassema Akikiego) i trio Tadeusza Wieleckiego (wraz z Andrzejem Bauerem i Julianem Paprockim). We wrześniu 2021 ukazał się nowy solowy album artysty Tribute to Gulda (Warner Classic), który zdobywa znakomite międzynarodowe i krajowe recenzje. Adam Kośmieja jest stypendystą Ministra Kultury i Dziedzictwa Narodowego, Prezydenta Miasta Bydgoszczy oraz Marszałka Województwa Kujawsko-Pomorskiego.