akordeonista i bandoneonista, pedagog i rektor Uniwersytetu Muzycznego im. Fryderyka Chopina od 2016. Studia odbywał w tejże uczelni w klasie Jerzego Jurka (dyplom w 1995), kontynuował w Conservatoire Paul Dukas w Paryżu pod kierunkiem Maksa Bonneya. 

Żywi szczególne upodobanie do tanga argentyńskiego, zwłaszcza do wykonywanego na bandoneonie tango nuevo Astora Piazzolli. Wprowadził je do sal koncertowych, grając solo i w zespołach, takich jak m.in. Tangata Quartet czy Machina del Tango, których był współtwórcą i liderem. Partnerował wirtuozom, jak Ivan Monighetti, Roby Lakatos, Julius Berger, Konstanty Andrzej Kulka, ostatnio – Piotr Pławner. Jest członkiem Chopin University Accordion Trio (z Rafałem Grząką i Grzegorzem Palusem), jako bandoneonista grywa z kwartetem smyczkowym Con Affetto. Nagrany z jego udziałem album Astor Piazzolla – Tango (Sony Classcial), został w roku 2003 uhonorowany Fryderykiem w kategorii album roku. Jego nagrania były dwukrotnie nominowane do Fryderyka: w 2004 – Live at Buffo (z Tangata Quintet), w 2005 – Tango moja miłość (z Krzysztofem Jakowiczem i Tangata Quintet). Dwie statuetki Fryderyka otrzymał także w 2020 box z udziałem Klaudiusza Barana 100 na 100. Muzyczne dekady wolności. Nagrał ok. 80 płyt, w tym wiele z muzyką do filmów – w przeważającej mierze skomponowaną przez Michała Lorenca; jako muzyk sesyjny towarzyszy także piosence aktorskiej. W 2010 został uhonorowany Brązowym Medalem „Zasłużony Kulturze Gloria Artis”.
W repertuarze koncertowym Klaudiusza Barana nie brakuje utworów Andrzeja Krzanowskiego; podczas 54. Warszawskiej Jesieni muzyk wziął udział w wykonaniu jego I Symfonii na pięć akordeonów i orkiestrę (dyrygował Lucas Vis). Z polskiej muzyki współczesnej artysta grywa m.in. utwory Zbigniewa Bargielskiego, Marcina Błażewicza, Krzesimira Dębskiego, Aleksandra Kościowa, Pawła Łukaszewskiego, Edwarda Sielickiego. Equilibrium na akordeon i instrumenty smyczkowe Pawła Sydora wraz z Dédicace V Piotra Mossa na taki sam zespół miały swoje prapremiery w berlińskiej Deutsche Oper z okazji osiemdziesiątych urodzin Krzysztofa Pendereckiego. Ogółem Klaudiusz Baran dokonał ponad 50 prawykonań muzyki kompozytorów polskich, w większości jemu dedykowanych, solowych, kameralnych i z towarzyszeniem orkiestry.